El perímetro de un polígono regular es igual a n x L de donde:
n es el número de lados del polígono
L es la longitud del lado del polígono
L, en función de D, es ((D/2) x sen(a)) x 2, o lo que es lo mismo D x sen(a), de donde:
D es la diagonal del polígono regular
a es un ángulo igual a 360/2n, o lo que es lo mismo 180/n
Por lo tanto se puede asegurar de forma general y absoluta que el perímetro de un polígono regular en función de D es: n x (D x sen(180/n))
o lo que es lo mismo D x (n x sen(180/n))
La función (n x sen(180/n)) tiene un valor distinto para cada polígono regular, porque depende de n cuando n tiene un valor real conocido (6 para un hexágono, 8 para un octógono, 10 para un decágono, etc.) pero cuando n es infinito resulta que estamos hablando de una circunferencia
La longitud de una circunferencia es igual D x Pi, pero si la circunferencia es un polígono regular de infinito número de lados, podemos establecer la igualdad:
D x Pi = D x (n x sen(180/n))
Eliminando D de los dos miembros se demuestra que:
Pi = (n x sen(180/n))
Pero ¡ojo! esta última ecuación sólo es cierta cuando se establece que n es infinito por lo que la ecuación se tendría que poner de la siguiente forma:
Pi = lim(n x sen(180/n)) cuando n tiende a infinito.
En conclusión, Pi claramente es una función trigonométrica.
En el siguiente gráfico (hecho en EXCEL no con mucha fortuna) se puede ver la función dibujada donde se intuye el límite de la función. En el eje de abscisas se representan los valores de n y en el de ordenadas el valor de la función.
Por lo tanto, nunca se podrá calcular con exactitud la longitud de una circunferencia a no ser que operemos directamente con la función de Pi (y aquí es donde está la perversidad del cálculo con límites), porque si no lo hacemos así estaremos calculando el perímetro de un polígono regular con un determinado número de lados.
Por ejemplo: si al definir la longitud de una circunferencia concreta utilizamos una calculadora que nos ofrece 5 cifras decimales, estamos calculando el perímetro de un polígono regular de 1.396 lados, al que le falta mucho para ser una circunferencia. Otra cosa es que demos por bueno el resultado aceptando el error infinitesimal.
